Criterii de divizibilitate: lista completă cu exemple

Principalele criterii de divizibilitate sunt reguli prin care afli, doar uitându-te la cifrele unui număr, dacă el se împarte exact la 2, 3, 4, 5, 9 sau 10. Se învață în clasele a V-a și a VI-a și scurtează o mulțime de calcule: simplificarea fracțiilor, descompunerea în factori primi, aflarea divizorilor comuni. Se împart în două familii. Unele se uită la ultimele cifre, altele la suma cifrelor. Dacă reții această împărțire, nu le mai încurci. Mai jos le găsești pe toate, cu exemple și cu probleme rezolvate.

Pe scurt:

• Cu 2: ultima cifră este pară. Cu 5: ultima cifră este 0 sau 5. Cu 10: ultima cifră este 0.

• Cu 3: suma cifrelor se divide cu 3. Cu 9: suma cifrelor se divide cu 9.

• Cu 4: numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4.

• Cu 6: numărul se divide și cu 2, și cu 3.

• Exemplu: 4.572 se divide cu 2, cu 3, cu 4, cu 6 și cu 9, dar nu și cu 5.

Ce înseamnă că un număr este divizibil cu altul?

Un număr natural a este divizibil cu un număr natural b dacă împărțirea lui a la b dă restul 0. Se mai spune că b îl divide pe a sau că a este multiplu al lui b.

• 24 este divizibil cu 6, pentru că 24 : 6 = 4, rest 0.

• 25 nu este divizibil cu 6, pentru că 25 : 6 = 4, rest 1.

Criteriile care se uită la ultima cifră

Cu 2. Ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Astfel de numere se numesc pare.

• 1.358 se divide cu 2. 1.357 nu se divide.

Cu 5. Ultima cifră este 0 sau 5.

• 2.345 și 780 se divid cu 5. 2.346 nu se divide.

Cu 10. Ultima cifră este 0. La fel, un număr se divide cu 100 dacă ultimele două cifre sunt 0 și cu 1.000 dacă ultimele trei sunt 0.

Criteriile care se uită la ultimele două sau trei cifre

Cu 4. Numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4.

• 4.572: ultimele două cifre formează 72, iar 72 : 4 = 18. Se divide.

• 1.314: ultimele două cifre formează 14. Nu se divide.

Cu 25. Ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75.

• 1.375 se divide cu 25.

Cu 8. Numărul format din ultimele trei cifre se divide cu 8.

• 5.120: 120 : 8 = 15. Se divide.

• 4.572: 572 : 8 = 71, rest 4. Nu se divide.

Criteriile care se uită la suma cifrelor

Cu 3. Suma cifrelor se divide cu 3.

• 4.572: 4 + 5 + 7 + 2 = 18, iar 18 se divide cu 3. Se divide.

• 1.375: 1 + 3 + 7 + 5 = 16. Nu se divide.

Cu 9. Suma cifrelor se divide cu 9.

• 4.572: suma este 18, care se divide cu 9. Se divide.

• 1.236: suma este 12. Se divide cu 3, dar nu și cu 9.

Orice număr divizibil cu 9 este divizibil și cu 3. Invers nu este adevărat.

Criteriile combinate

Un număr se divide cu un produs de două numere prime între ele dacă se divide cu fiecare dintre ele.

• cu 6: cu 2 și cu 3

• cu 12: cu 3 și cu 4

• cu 15: cu 3 și cu 5

• cu 18: cu 2 și cu 9

Exemplu: 4.572 se divide cu 2, pentru că este par, și cu 3, pentru că suma cifrelor este 18. Deci se divide cu 6.

Atenție la alegerea perechii. Pentru 12 se folosesc 3 și 4, nu 2 și 6, pentru că 2 și 6 au un factor comun. Numărul 18 se divide cu 2 și cu 6, dar nu se divide cu 12.

Criteriul cu 11

Aduni cifrele de pe pozițiile impare și, separat, pe cele de pe pozițiile pare. Dacă diferența dintre cele două sume este 0 sau un număr divizibil cu 11, atunci numărul se divide cu 11.

• 1.375: cifrele de pe pozițiile impare, numărate de la dreapta, sunt 5 și 3, cu suma 8. Celelalte sunt 7 și 1, cu suma 8. Diferența este 0. Se divide: 1.375 = 11 · 125.

• 2.728: 8 + 7 = 15 și 2 + 2 = 4. Diferența este 11. Se divide: 2.728 = 11 · 248.

Există un criteriu cu 7?

Există, dar nu face parte din regulile cerute de obicei la școală: tai ultima cifră, o dublezi și o scazi din numărul rămas. Dacă rezultatul se divide cu 7, atunci și numărul inițial se divide.

• 343: 34 − 2 · 3 = 28, iar 28 se divide cu 7. Deci 343 se divide cu 7.

Pentru numere mici, împărțirea directă este la fel de rapidă.

Un număr analizat complet

Numărul 4.572:

• cu 2: da, ultima cifră este 2

• cu 3: da, suma cifrelor este 18

• cu 4: da, 72 se divide cu 4

• cu 5: nu, ultima cifră nu este 0 sau 5

• cu 6: da, se divide cu 2 și cu 3

• cu 8: nu, 572 nu se divide cu 8

• cu 9: da, 18 se divide cu 9

• cu 10: nu, ultima cifră nu este 0

Probleme cu cifra necunoscută

Sunt cele mai frecvente probleme din acest capitol. Bara de deasupra din manual arată că este vorba despre un număr scris cu cifre, nu despre un produs. Aici, cifra necunoscută este notată cu x.

Problema 1. Află cifra x pentru care numărul 34x se divide cu 3.

• suma cifrelor este 3 + 4 + x = 7 + x

• 7 + x trebuie să se dividă cu 3, deci poate fi 9, 12 sau 15

• x poate fi 2, 5 sau 8

Problema 2. Află cifra x pentru care numărul 52x se divide cu 4.

• ultimele două cifre formează numărul 2x, adică unul dintre numerele de la 20 la 29

• dintre acestea, se divid cu 4 numerele 20, 24 și 28

• x poate fi 0, 4 sau 8

Problema 3. Află cifra x pentru care numărul 7x2 se divide cu 9.

• suma cifrelor este 9 + x

• 9 + x trebuie să fie 9 sau 18

• x poate fi 0 sau 9

Problema 4. Află cifra x pentru care numărul 41x se divide cu 6.

• trebuie să se dividă cu 2, deci x este 0, 2, 4, 6 sau 8

• trebuie să se dividă cu 3, deci 5 + x se divide cu 3, adică x este 1, 4 sau 7

• singura cifră care respectă ambele condiții este 4

Verificare: 414 : 6 = 69.

De ce funcționează regula cu suma cifrelor?

Pentru că 10, 100, 1.000 și toate puterile lui 10 dau restul 1 la împărțirea cu 9 și cu 3: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1.

Luăm numărul 372, adică 3 · 100 + 7 · 10 + 2. Se poate scrie ca 3 · 99 + 7 · 9 + (3 + 7 + 2). Primii doi termeni se divid cu 9, deci totul depinde de paranteză, adică de suma cifrelor.

Pentru 2, 5 și 10 explicația este și mai scurtă: zecile, sutele și miile se divid deja cu aceste numere, deci contează doar ultima cifră.

La ce folosesc?

• la simplificarea fracțiilor: vezi pe loc cu ce se pot simplifica numărătorul și numitorul;

• la descompunerea în factori primi: știi cu ce număr prim să începi;

• la aflarea celui mai mare divizor comun și a celui mai mic multiplu comun;

• la verificarea dacă un număr este prim: încerci împărțirea doar la numerele prime mici.

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Suma cifrelor folosită la 4. Pentru 4 contează ultimele două cifre, nu suma.

2. Ultima cifră folosită la 3. 13 se termină în 3, dar nu se divide cu 3.

3. La 6, o singură condiție verificată. Trebuie și par, și cu suma cifrelor divizibilă cu 3.

4. Perechea greșită la criteriile combinate. Pentru 12, perechea este 3 și 4.

5. Divizibil cu 3, deci și cu 9. Fals. 12 se divide cu 3, dar nu cu 9.

6. Soluții pierdute la problemele cu cifra necunoscută. Scrie toate valorile posibile ale sumei, nu doar prima.

7. Cifra de pe prima poziție. Dacă necunoscuta este prima cifră a numărului, nu poate fi 0.

Cum le înveți?

• pe familii: ultima cifră pentru 2, 5 și 10, ultimele două cifre pentru 4 și 25, suma cifrelor pentru 3 și 9;

• cu un număr pe zi, analizat complet, ca în exemplul de mai sus;

• cu numere din jurul tău: anul nașterii, numărul casei, prețul de pe un bon.

Despre lucrul în reprize scurte am scris în articolul despre de ce sunt mai eficiente decât orele lungi.

Divizibilitatea este temelia lucrului cu fracții, așa că merită lămurită devreme. Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu nivelul la care lucrează, prețul și durata. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Pentru părinți, un ghid mai larg este în articolul despre meditațiile la matematică.

Întrebări frecvente

Când este un număr divizibil cu 3?

Când suma cifrelor lui se divide cu 3. De exemplu, 4.572 are suma cifrelor 18, deci se divide cu 3.

Când este un număr divizibil cu 4?

Când numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4. De exemplu, 4.572 se termină în 72, iar 72 se divide cu 4.

Când este un număr divizibil cu 6?

Când se divide și cu 2, și cu 3, adică este par și are suma cifrelor divizibilă cu 3.

Care este diferența dintre criteriul cu 3 și cel cu 9?

Amândouă folosesc suma cifrelor. Pentru 3, suma trebuie să se dividă cu 3. Pentru 9, trebuie să se dividă cu 9.

Este 0 divizibil cu orice număr?

Da, cu orice număr natural nenul, pentru că 0 împărțit la orice număr nenul dă câtul 0 și restul 0.