Media aritmetică, ponderată și geometrică: formule

Media aritmetică este suma numerelor împărțită la câte sunt. Este prima noțiune de statistică pe care o învață un elev și cea pe care o folosește cel mai des, începând cu propriile note. Dar nu este singura medie și nu este potrivită în orice situație. Când valorile au importanțe diferite, îți trebuie media ponderată. Când vorbești despre viteze pe același drum, media obișnuită dă un rezultat greșit. Mai jos găsești fiecare medie, cu formulă, exemple și capcanele ei.

Pe scurt:

• Aritmetică: suma valorilor împărțită la numărul lor.

• Ponderată: fiecare valoare se înmulțește cu ponderea ei, iar suma se împarte la suma ponderilor.

• Geometrică, pentru două numere pozitive: radical din produsul lor.

• Media geometrică este întotdeauna mai mică sau egală cu cea aritmetică.

• Media este cuprinsă mereu între cea mai mică și cea mai mare valoare.

Cum se calculează media aritmetică?

Aduni toate valorile și împarți la numărul lor.

Exemplul 1. Notele 8, 9, 6 și 9.

• suma: 8 + 9 + 6 + 9 = 32

• media: 32 : 4 = 8

Exemplul 2. Numerele 7, 8 și 10.

• suma este 25

• media: 25 : 3, adică aproximativ 8,33

Proprietăți utile:

• media este cuprinsă între cea mai mică și cea mai mare valoare. Dacă îți iese o medie mai mare decât toate notele, ai greșit;

• suma valorilor este media înmulțită cu numărul lor. Din această relație se rezolvă toate problemele inverse;

• dacă adaugi o valoare egală cu media, media nu se schimbă.

Cum rezolvi problemele inverse?

Sunt problemele în care cunoști media și cauți o valoare. Treci de la medie la sumă.

Exemplul 3. Media a patru numere este 8. Trei dintre ele sunt 6, 9 și 10. Află al patrulea.

• suma celor patru: 8 · 4 = 32

• suma celor trei cunoscute: 25

• al patrulea număr: 32 − 25 = 7

Exemplul 4. Ai notele 7, 8 și 6. Ce notă îți trebuie la a patra lucrare pentru media 7,5?

• suma necesară: 7,5 · 4 = 30

• suma de până acum: 21

• nota necesară: 30 − 21 = 9

Pentru media 8 ar fi nevoie de suma 32, deci de nota 11. Rezultatul îți spune că, din patru note, media 8 nu mai poate fi atinsă.

Ce este media ponderată?

Se folosește când valorile nu au aceeași importanță sau când aceeași valoare apare de mai multe ori. Fiecare valoare se înmulțește cu ponderea ei, produsele se adună, iar suma se împarte la suma ponderilor.

Exemplul 5, cu valori care se repetă. Trei note de 8 și două note de 10.

• (3 · 8 + 2 · 10) : 5 = (24 + 20) : 5 = 8,8

Exemplul 6, cu procente. La o materie, examenul contează 60%, iar proiectul 40%. Ai 7 la examen și 9 la proiect.

• 0,6 · 7 + 0,4 · 9 = 4,2 + 3,6 = 7,8

Media simplă a celor două note ar fi fost 8. Ponderea mai mare a examenului trage rezultatul spre nota de la examen.

Exemplul 7, cu prețuri. Amesteci 2 kg de cafea de 10 lei kilogramul cu 3 kg de cafea de 15 lei kilogramul. Cât costă kilogramul de amestec?

• (2 · 10 + 3 · 15) : 5 = (20 + 45) : 5 = 13 lei

Capcana mediei mediilor. Clasa A are 20 de elevi și media 8. Clasa B are 30 de elevi și media 9. Media tuturor celor 50 de elevi nu este 8,5.

• (20 · 8 + 30 · 9) : 50 = 430 : 50 = 8,6

Mediile a două grupuri se pot aduna și împărți la doi numai dacă grupurile au același număr de membri.

Ce este media geometrică?

Pentru două numere pozitive a și b, este radicalul produsului lor: √(a · b).

• pentru 4 și 9: √36 = 6

• pentru 2 și 8: √16 = 4

În geometrie apare des: într-un triunghi dreptunghic, înălțimea dusă pe ipotenuză este media geometrică a segmentelor în care împarte ipotenuza. Este și media potrivită pentru ritmuri de creștere, de exemplu pentru o creștere medie anuală.

Ce spune inegalitatea mediilor?

Pentru orice două numere pozitive, media geometrică este mai mică sau egală cu media aritmetică:

√(a · b) ≤ (a + b) / 2

Egalitatea are loc numai când cele două numere sunt egale.

Verificare pentru 4 și 9: media geometrică este 6, iar cea aritmetică este 6,5.

Inegalitatea se folosește la demonstrații și la probleme de optim. De exemplu, dintre toate dreptunghiurile cu același perimetru, pătratul are aria cea mai mare.

Ce este media armonică și când îți trebuie?

Pentru două numere pozitive a și b, este 2 · a · b / (a + b).

Pentru 4 și 9: 72 / 13, adică aproximativ 5,54. Cele trei medii se așază mereu în aceeași ordine: armonică, geometrică, aritmetică.

Capcana vitezei medii. Mergi 60 km/h la dus și 40 km/h la întors, pe același drum. Viteza medie nu este 50 km/h.

• la viteza mai mică petreci mai mult timp, deci ea contează mai mult

• viteza medie este 2 · 60 · 40 / (60 + 40) = 4.800 / 100 = 48 km/h

Verificare pe un drum de 120 km: dusul durează 2 ore, întorsul 3 ore. În total, 240 km în 5 ore, adică 48 km/h.

Prin ce diferă media de mediană și de mod?

Sunt trei feluri de a rezuma un șir de valori printr-un singur număr.

Pentru valorile 3, 5, 5, 8 și 9:

• media: 30 : 5 = 6

• mediana, valoarea din mijloc, după ordonare: 5

• modul, valoarea care apare cel mai des: 5

Media este sensibilă la valorile extreme. Dacă patru persoane câștigă câte 3.000 de lei, iar a cincea câștigă 18.000, media este 6.000 de lei, deși patru din cinci câștigă jumătate din această sumă. Mediana, 3.000 de lei, descrie mai bine situația. De aceea statisticile despre venituri folosesc des mediana.

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Împărțirea la numărul greșit. Numără valorile înainte de a împărți.

2. Media mediilor, când grupurile nu sunt egale.

3. Ponderile ignorate. Trei note de 8 și două de 10 nu dau media 9.

4. Viteza medie calculată ca medie simplă, pe drumuri egale.

5. Un rezultat în afara intervalului. Media nu poate fi mai mică decât cea mai mică valoare sau mai mare decât cea mai mare.

6. Rotunjirea făcută prea devreme. Păstrează zecimalele până la sfârșit.

7. Media confundată cu mediana.

Cum se rotunjesc mediile școlare?

Felul în care se calculează și se rotunjește media la o materie, numărul de note necesar și ponderile diferitelor evaluări sunt stabilite prin regulamentele școlare, care s-au schimbat de mai multe ori în ultimii ani. Pentru situația ta, verifică regula în vigoare cu dirigintele sau la secretariat. Aritmetica de mai sus rămâne aceeași, oricare ar fi regula.

Unde apar la școală?

Media aritmetică se învață din clasele mici și se reia în gimnaziu, împreună cu media ponderată și cu cea geometrică. Apare la Evaluarea Națională, în probleme cu text, iar inegalitatea mediilor revine în liceu, la demonstrații.

Dacă ai un copil care se încurcă la problemele cu medii, semnele că are nevoie de ajutor sunt descrise în articolul despre când este momentul potrivit pentru meditații.

Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu nivelul la care lucrează, prețul și durata, iar pe cea de meditații pentru Evaluarea Națională compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Cum se calculează media a trei numere?

Aduni cele trei numere și împarți suma la 3. Pentru 7, 8 și 10, media este 25 : 3, adică aproximativ 8,33.

Ce este media ponderată?

O medie în care fiecare valoare contează proporțional cu ponderea ei. Se calculează înmulțind fiecare valoare cu ponderea și împărțind suma la suma ponderilor.

Cum se calculează media geometrică?

Pentru două numere pozitive, este radicalul produsului lor. Pentru 4 și 9, este 6.

Ce notă îmi trebuie ca să am o anumită medie?

Înmulțești media dorită cu numărul total de note și scazi suma notelor pe care le ai deja.

Care este diferența dintre medie și mediană?

Media este suma împărțită la numărul valorilor. Mediana este valoarea din mijloc, după ce ordonezi valorile. Mediana nu este influențată de valorile extreme.