Pârghia: condiția de echilibru și probleme rezolvate

O pârghie se află în echilibru de rotație când momentele forțelor care o rotesc într-un sens compensează momentele din sensul opus. Pentru două forțe cu efecte opuse, într-un model în care greutatea barei este neglijabilă, relația este $F_1b_1=F_2b_2$. Brațul unei forțe este distanța perpendiculară de la punctul de sprijin la dreapta pe care acționează forța.

O bară cu două greutăți nu trebuie să aibă greutăți egale pentru a sta în echilibru. O forță mai mică poate compensa una mai mare dacă are un braț suficient de lung. În probleme contează atât forțele, cât și locul și direcția în care sunt aplicate.

Cum identifici brațul unei forțe?

Desenează întâi punctul de sprijin, notat cu O. Apoi trasează dreapta care continuă săgeata forței. Brațul este cea mai scurtă distanță dintre O și această dreaptă. Dacă bara este orizontală și forța este verticală, brațul coincide cu distanța orizontală până la punctul de aplicare.

Această coincidență nu este universală. Pentru o forță oblică, distanța măsurată de-a lungul barei poate fi mai mare decât brațul. Dacă dreapta forței trece chiar prin O, brațul este zero, indiferent cât de mare este forța.

Momentul unei forțe are modulul $M=Fb$ și se exprimă în N·m. Definiția distanței perpendiculare și condiția de echilibru sunt prezentate în lecția OpenStax despre momentul forței. În calculele următoare lucrăm pe hârtie, cu bare rigide și sprijin ideal, fără frecare.

Problema 1: o forță mică pe un braț lung

Enunț: o bară orizontală, cu greutate neglijabilă, are o forță verticală în jos de 18 N la 20 cm în stânga sprijinului. Ce forță verticală în jos, aplicată la 60 cm în dreapta sprijinului, o echilibrează?

Forțele tind să rotească bara în sensuri opuse. Convertim brațele: 20 cm = 0,20 m și 60 cm = 0,60 m. Momentul forței din stânga este $18\times0{,}20=3{,}6\,\mathrm{N\cdot m}$. Pentru dreapta trebuie să obținem aceeași valoare:

$$F_2=\frac{18\times0{,}20}{0{,}60}=6\,\mathrm{N}.$$

Verificarea dă $6\times0{,}60=3{,}6\,\mathrm{N\cdot m}$. Brațul din dreapta este de trei ori mai lung, așa că forța necesară este de trei ori mai mică. Rezultatul de 54 N ar indica inversarea raportului brațelor.

Poți folosi și centimetri în ambele brațe pentru a afla forța: $18\times20/60=6$. Dar dacă scrii explicit momentul în N·m, transformi distanțele în metri. Nu combina 20 cm cu 0,60 m ca și cum numerele ar avea aceeași unitate.

Problema 2: unde trebuie aplicată forța?

Enunț: o forță de 12 N acționează vertical în jos la 30 cm în stânga sprijinului. În dreapta ai o forță de 8 N, tot verticală în jos. La ce distanță de sprijin trebuie aplicată pentru echilibru? Neglijăm greutatea barei.

Scrii relația $12\times0{,}30=8b_2$. Momentul cunoscut este 3,6 N·m, deci $b_2=3{,}6/8=0{,}45\,\mathrm{m}$. Forța de 8 N trebuie aplicată la 45 cm în dreapta sprijinului.

Controlul prin raport spune același lucru: forța de 8 N este două treimi din 12 N, deci brațul ei trebuie să fie de 1,5 ori mai mare. Din 30 cm ajungi la 45 cm. Dacă bara disponibilă s-ar întinde numai 40 cm în dreapta sprijinului, poziția cerută nu ar exista pe acea bară.

Un rezultat al ecuației trebuie să încapă și în geometria problemei. Acesta este un motiv să păstrezi desenul lângă calcul. Pentru împărțirile din formule, poți revedea regulile ordinii operațiilor; aici produsul din numărător se calculează înaintea împărțirii finale.

Problema 3: când enunțul dă mase, nu forțe

Enunț: într-un model de balanță cu bară de masă neglijabilă, un corp de 400 g este suspendat la 25 cm în stânga sprijinului. Unde suspendăm în dreapta un corp de 250 g, pentru echilibru?

Forțele care apasă cele două brațe sunt greutățile corpurilor. Pentru același $g$, condiția devine $m_1gb_1=m_2gb_2$. Factorul comun $g$ se simplifică. Rămâne $m_1b_1=m_2b_2$, cu masele exprimate în aceeași unitate și brațele în aceeași unitate.

Folosind kilograme și metri, obții $0{,}40\times0{,}25=0{,}25b_2$. Rezultatul este $b_2=0{,}40\,\mathrm{m}$, adică 40 cm. Corpul mai ușor stă mai departe de sprijin.

Verifică și prin forțe, alegând $g=10\,\mathrm{N/kg}$. Greutățile sunt 4 N și 2,5 N. Momentele devin $4\times0{,}25=1\,\mathrm{N\cdot m}$ și $2{,}5\times0{,}40=1\,\mathrm{N\cdot m}$. Simplificarea lui $g$ a economisit un pas, dar nu a schimbat sensul fizic al calculului.

Problema 4: ce se schimbă dacă bara are greutate?

O bară uniformă de 1 m are greutatea de 10 N. Sprijinul se află la 40 cm de capătul stâng. La capătul stâng acționează vertical în jos o forță de 10 N. Ce forță verticală în jos trebuie aplicată la capătul drept pentru echilibru orizontal?

Greutatea barei acționează în centrul ei, aflat la 50 cm de capătul stâng. Față de sprijin, acesta este la 10 cm în dreapta. Brațul forței din stânga este 0,40 m, iar al forței necunoscute este 0,60 m.

Forța din stânga produce un moment de 4 N·m. Greutatea barei produce în sens opus $10\times0{,}10=1\,\mathrm{N\cdot m}$. Momentul rămas pentru forța de la capătul drept este 3 N·m:

$$10\times0{,}40=10\times0{,}10+F\times0{,}60.$$

Rezultă $F=3/0{,}60=5\,\mathrm{N}$. Controlul este $4=1+3$. Dacă ai omite greutatea barei, ai obține aproximativ 6,67 N, răspunzând astfel la o problemă diferită.

Desenul trebuie să includă și greutatea barei, nu doar obiectele adăugate. Dacă te blochezi la alegerea forțelor, poți compara anunțurile profesorilor de fizică și cere să discutați tocmai această schemă, împreună cu încercarea ta.

Sprijinul exercită o forță dacă momentul lui este zero?

Da. În ultima problemă, cele trei forțe verticale în jos au suma 10 + 10 + 5 = 25 N. Pentru repaus, sprijinul exercită asupra barei o forță verticală în sus de 25 N. Momentul ei față de sprijin este zero, fiindcă brațul este zero.

Condiția pentru momente nu înlocuiește echilibrul forțelor. Pentru repaus ai nevoie de ambele, așa cum arată și condiția de echilibru al forțelor. O forță cu moment nul față de punctul ales poate rămâne esențială în bilanțul forțelor.

Întrebări de verificare

Brațul mai lung înseamnă întotdeauna forță mai mică?

Pentru același moment necesar, da: $F=M/b$, cu $b>0$. Dacă modifici simultan momentul cerut sau direcția forței, trebuie să refaci calculul. Compară mereu situații în care ai precizat ce rămâne constant.

Pot folosi masa barei în locul greutății ei?

Numai după ce justifici transformarea sau simplificarea factorului comun $g$. Nu aduna o masă în kg cu o forță în N. Într-o ecuație de momente, fiecare termen trebuie să aibă aceeași unitate.

Ce controlez la final?

Verifică sensurile de rotație, brațele măsurate de la același sprijin și toate forțele din enunț. Confirmă apoi ecuația prin înlocuire. Pentru alte modele fizice în care condițiile contează la fel de mult ca formula, continuă în secțiunea Științe.