Resort vertical: alungire maximă și echilibru BAC

Un corp lăsat liber la capătul unui resort vertical poate depăși poziția de echilibru și poate ajunge la o alungire maximă mai mare. În poziția de echilibru rezultanta forțelor este zero; în punctul de alungire maximă viteza este zero. Cele două condiții nu descriu aceeași stare.

Lecția aparține modulului Mecanică, cu accent pe profilurile real și militar pentru aplicațiile energetice ale forței elastice din programa oficială consultată. Este o problemă de energie și legea lui Hooke, fără folosirea ecuațiilor oscilațiilor. Considerăm resort ideal, masă neglijabilă, deformări în domeniul liniar, corp atașat și rezistențe neglijabile. Compară tipul aplicației cu subiectele de BAC și baremele ale variantei pregătite.

Definirea alungirii și a reperului

Resortul este fixat la capătul de sus. Notăm cu x alungirea sa față de lungimea naturală, pozitivă în jos. Poziția x = 0 corespunde resortului nedeformat, nu poziției de echilibru a corpului suspendat.

Forța elastică asupra corpului are modulul kx și este orientată în sus pentru x pozitiv. Greutatea mg este orientată în jos. Ecuația dinamicii pe axa descendentă este mg − kx = ma.

Energia potențială elastică este kx²/2. Dacă alegem energia potențială gravitațională zero la x = 0, aceasta este −mgx, deoarece corpul coboară când x crește. Energia mecanică totală se poate scrie mv²/2 + kx²/2 − mgx.

Alungirea de echilibru

În echilibru static, accelerația este zero și forțele se compensează: kxe = mg. Rezultă xe = mg/k. Dacă așezăm corpul foarte lent și îl lăsăm apoi în repaus, aceasta este alungirea la care poate rămâne.

Pentru m = 0,5 kg, k = 100 N/m și g = 10 m/s², greutatea este 5 N, iar alungirea de echilibru este 0,05 m, adică 5 cm. La această poziție, forța elastică are modulul 5 N.

Egalitatea forțelor nu stabilește singură viteza. Un corp aflat în mișcare poate trece prin poziția de echilibru cu viteză nenulă. În acel moment, accelerația este zero, dar corpul nu se oprește obligatoriu.

Eliberarea din poziția nedeformată

Presupunem acum că masa este ținută inițial în repaus la x = 0 și apoi eliberată. Inițial, energia cinetică și cele două energii potențiale, în referința aleasă, sunt zero. Pe parcurs se conservă energia: mv²/2 + kx²/2 − mgx = 0.

La alungirea maximă, viteza devine zero. Ecuația este kxmax²/2 − mgxmax = 0. Factorizând, obținem x(max)(kx(max)/2 − mg) = 0. Rădăcina zero reprezintă poziția inițială; punctul inferior de întoarcere este xmax = 2mg/k.

Alungirea maximă este de două ori alungirea de echilibru, numai pentru această eliberare din repaus cu resortul inițial nedeformat și fără disipare. Nu este o regulă universală pentru orice condiție inițială.

Exemplul numeric explicat

Pentru masa de 0,5 kg și resortul de 100 N/m, alungirea maximă este 0,10 m. Corpul coboară cu 10 cm de la poziția resortului nedeformat. Greutatea efectuează lucrul 5 × 0,10 = 0,50 J, iar energia elastică finală este 100 × 0,10²/2 = 0,50 J.

La punctul inferior, forța elastică este 10 N, de două ori greutatea. Rezultanta este 5 N în sus, deci accelerația este 10 m/s² în sus. Viteza este zero doar instantaneu; accelerația nenulă inițiază mișcarea de revenire.

Dacă ai fi folosit condiția kx = mg în punctul inferior, ai fi găsit 5 cm și ai fi confundat echilibrul cu întoarcerea. Calculul forțelor în punctul maxim este o verificare directă a acestei diferențe.

Viteza în poziția de echilibru

Din bilanțul energetic general rezultă mv²/2 = mgx − kx²/2. Expresia din dreapta este maximă la x = mg/k, adică în poziția de echilibru. Acolo, viteza are modulul maxim pentru mișcarea inițiată în condițiile precizate.

În exemplul numeric, la x = 0,05 m, lucrul greutății este 0,25 J, iar energia elastică 0,125 J. Energia cinetică este diferența, 0,125 J. Din 0,5v²/2 = 0,125 rezultă v² = 0,5 m²/s² și v ≈ 0,707 m/s.

Corpul trece prin echilibru cu această viteză atât la coborâre, cât și la urcare, în absența pierderilor. Modulele sunt egale, sensurile sunt opuse. Conservarea energiei nu fixează singură semnul vitezei.

Eliberare dintr-o alungire inițială diferită

Dacă masa este eliberată din repaus la alungirea x₀, energia inițială este kx₀²/2 − mgx₀. Într-un alt punct de întoarcere x₁, viteza este din nou zero. Egalarea energiilor conduce la (x₁ − x₀)[k(x₁ + x₀)/2 − mg] = 0.

Pe lângă rădăcina inițială x₁ = x₀, celălalt punct de întoarcere satisface x₁ + x₀ = 2mg/k. Cele două poziții sunt simetrice față de alungirea de echilibru. Această relație rezultă din energie și nu cere calculul perioadei mișcării.

Pentru xe = 5 cm și x₀ = 2 cm, celălalt punct de întoarcere este la 8 cm. Ambele alungiri sunt pozitive, deci resortul rămâne întins în intervalul analizat. Dacă datele ar cere compresie sau pierderea legăturii, trebuie verificat dacă montajul permite acea etapă; nu extrapola modelul unei simple suspensii dincolo de condițiile sale.

Ce se schimbă la coborârea foarte lentă

Dacă o forță exterioară coboară corpul lent până la echilibru, energia mecanică a sistemului corp–resort–Pământ nu evoluează ca în eliberarea liberă. Forța exterioară efectuează lucru și extrage o parte din energia disponibilă, menținând viteza foarte mică.

În exemplul nostru, la echilibru energia elastică este 0,125 J, iar energia gravitațională a scăzut cu 0,25 J. Diferența nu apare ca energie cinetică într-un proces lent, ci este transferată prin intervenția exterioară. Nu compara cele două proceduri ca și cum ar avea aceleași condiții de conservare pentru sistemul ales.

Într-un sistem real cu amortizare, corpul eliberat poate ajunge în cele din urmă la echilibru după disiparea energiei mișcării. Alungirea statică finală rămâne mg/k, dar alungirea maximă tranzitorie depinde de pierderi și de condițiile inițiale.

Schemă pentru alegerea condiției

Situație	Condiție utilă	Ce nu trebuie presupus
Echilibru static	kx = mg	Că este și alungirea maximă după eliberare
Punct de întoarcere	v = 0	Că accelerația este zero
Trecere prin echilibru	Rezultantă zero	Că viteza este zero
Mișcare fără pierderi	Energie mecanică constantă	Că fiecare formă de energie rămâne constantă

Înainte de formule, identifică ce spune enunțul: „atârnat în repaus”, „eliberat”, „coborât lent” sau „alungire maximă”. Aceste expresii stabilesc condiții fizice diferite.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. O masă de 0,2 kg este suspendată de un resort cu k = 50 N/m, iar g = 10 m/s². Află alungirea de echilibru.

Soluție: xe = 2/50 = 0,04 m, adică 4 cm.

Exercițiul 2. Aceeași masă este eliberată din repaus când resortul este nedeformat, fără pierderi. Care este alungirea maximă?

Soluție: xmax = 2xe = 8 cm. Formula este valabilă pentru condițiile inițiale precizate.

Exercițiul 3. La alungirea maximă din exercițiul anterior, cât este forța elastică și în ce sens este accelerația?

Soluție: forța elastică este 50 × 0,08 = 4 N în sus, greutatea este 2 N în jos, deci accelerația este în sus, de modul 10 m/s².

Întrebări frecvente

Dacă viteza este zero, corpul este în echilibru?

Nu neapărat. În punctul de întoarcere viteza este momentan zero, dar rezultanta poate fi nenulă și poate produce revenirea.

De ce energia gravitațională are semn negativ?

Am ales alungirea pozitivă în jos și nivelul zero la resortul nedeformat. Coborârea micșorează energia potențială gravitațională.

Este necesară formula perioadei pentru aceste probleme?

Nu pentru alungirile extreme și vitezele calculate aici. Energia și legea lui Hooke sunt suficiente; timpul mișcării ar necesita o analiză suplimentară.

Compararea condițiilor ajută la înțelegerea mecanicii, dincolo de formule. Un profesor de fizică poate verifica dacă ai ales corect starea inițială și punctul final.

Sursa curriculară

Legea lui Hooke și aplicațiile energetice ale forței elastice sunt verificate în secțiunea relevantă a programei oficiale de fizică. Documentul este referința istorică consultată, fără afirmații despre un nou ordin anual.