Zerouri la sfârșitul unui produs sau factorial

Numărul de zerouri de la sfârșitul unui produs de numere întregi pozitive este numărul de perechi de factori 2 și 5 pe care le poți forma. Fiecare pereche produce un factor 10. Descompui factorii, numeri separat câți de 2 și câți de 5 ai, apoi alegi numărul mai mic.

De exemplu, $24\cdot125=3000$. Numărul 24 conține trei factori 2, iar 125 conține trei factori 5. Poți forma trei perechi, deci produsul se termină în trei zerouri. Nu este nevoie să efectuezi înmulțirea pentru a afla acest lucru.

Metoda de mai jos privește zerourile terminale în scrierea zecimală. Nu numără toate cifrele 0 din interiorul unui număr. Numărul 1002 conține două cifre 0, dar nu are niciun zero la sfârșit.

De ce trebuie să cauți și 2, și 5?

În baza zece, un zero terminal înseamnă că numărul este divizibil cu 10. Două zerouri terminale înseamnă divizibilitate cu 100, iar trei înseamnă divizibilitate cu 1000. Aceste numere sunt $2\cdot5$, $2^2\cdot5^2$ și $2^3\cdot5^3$.

Dacă un produs conține șapte factori 2, dar numai trei factori 5, poți forma doar trei perechi. Cei patru factori 2 rămași nu mai pot produce singuri un factor 10. Acesta este motivul pentru care iei minimul celor două numărători.

Mai precis, dacă scrii numărul în forma $2^a5^b\cdot c$, unde $c$ nu se divide nici cu 2, nici cu 5, numărul de zerouri terminale este $\min(a,b)$. Factorii 3, 7 sau 11 pot schimba restul cifrelor, dar nu adaugă perechi 2–5.

Descompunerea folosește factori primi, adică numere cu exact doi divizori pozitivi. Dacă noțiunea este încă nesigură, începe cu numerele prime și recunoașterea lor. Pentru acest calcul urmărești apoi numai factorii doi și cinci.

Exemplul 1: un produs fără niciun factor terminat în zero

Calculează numărul de zerouri terminale ale produsului $48\cdot125\cdot15$, fără să îl înmulțești complet.

Descompunerile utile sunt $48=2^4\cdot3$, $125=5^3$ și $15=3\cdot5$. În total ai patru factori 2 și patru factori 5. Prin urmare, produsul se termină în exact patru zerouri.

Pentru control, poți regrupa factorii: $48\cdot125=6000$, apoi $6000\cdot15=90000$. Rezultatul confirmă cele patru zerouri. Observă că niciun factor inițial nu se termina în zero. Dacă ai fi numărat doar zerourile vizibile în enunț, ai fi răspuns greșit.

Cuvântul „exact” este justificat: după scoaterea celor patru factori 10 rămâne 9. Cum 9 nu se divide cu 10, nu mai poate apărea un al cincilea zero terminal.

Exemplul 2: când factorii de 2 sunt insuficienți

Pentru $125\cdot25\cdot6$, ai $5^3\cdot5^2\cdot2\cdot3$. Există cinci factori 5, dar un singur factor 2. Numărul de zerouri este, așadar, 1.

Verificarea directă dă $125\cdot25\cdot6=18750$. Produsul conține mulți factori 5, însă se termină într-un singur zero. Regula „numără doar factorii de 5” nu este valabilă pentru orice produs.

Dacă mai înmulțești acest rezultat cu 8, adaugi trei factori 2. Ajungi la patru factori 2 și cinci factori 5, deci obții patru zerouri terminale. Într-adevăr, $18750\cdot8=150000$. Factorii noi se pot combina cu factori rămași anterior fără pereche.

Cum numeri zerourile unui factorial?

Pentru un număr întreg pozitiv $n$, notația $n!$ înseamnă produsul numerelor de la 1 la $n$. De exemplu, $6!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720$.

Într-un factorial sunt cel puțin la fel de mulți factori 2 ca factori 5. Pentru fiecare putere pozitivă $k$, numărul multiplilor lui $2^k$ până la $n$ este cel puțin numărul multiplilor lui $5^k$. Adunând aceste contribuții, obții comparația numărului total de factori. Aici poți număra numai factorii 5.

Multiplii lui 5 contribuie cu minimum un factor 5. Multiplii lui 25 contribuie cu încă unul. Multiplii lui 125 mai adaugă unul, și continui cât timp puterea respectivă nu depășește $n$. Formula este:

$$\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{125}\right\rfloor+\cdots$$

Parantezele speciale înseamnă partea întreagă: păstrezi câtul întreg al împărțirii. Pentru 38 împărțit la 5, contribuția este 7, fiindcă există șapte multipli pozitivi ai lui 5 care nu depășesc 38.

De ce 25 trebuie numărat de două ori?

În $30!$, multiplii lui 5 sunt 5, 10, 15, 20, 25 și 30. Prima numărătoare dă șase factori 5. Dar numărul 25 este $5\cdot5$, deci conține doi asemenea factori. Prima trecere i-a luat în calcul doar unul.

Adaugi încă unul pentru multiplii lui 25. Totalul este $6+1=7$ zerouri. Nu aduni 2 în a doua trecere: ai număra atunci de trei ori factorii lui 25.

La 125 se întâmplă același lucru pe trei niveluri. El intră o dată între multiplii lui 5, încă o dată între multiplii lui 25 și încă o dată între multiplii lui 125. Totalul celor trei contribuții corespunde exact descompunerii $125=5^3$.

Exponenții notează câți factori identici ai strâns, nu câte cifre are numărul. Pentru a reface aceste baze înainte de factoriale, folosește parcursul de calcul pentru clasa a IX-a și verifică descompunerile pe produse mici.

Exemplul 3: câte zerouri are 100 factorial?

Nu încerca să scrii produsul complet. Numără multiplii: până la 100 sunt 20 de multipli ai lui 5 și 4 multipli ai lui 25. Nu există multipli pozitivi ai lui 125 în acest interval.

Rezultatul este $20+4=24$ zerouri terminale. Termenii următori ai formulei sunt zero și te poți opri. Cei patru multipli suplimentari sunt 25, 50, 75 și 100; fiecare furnizează al doilea factor 5 pe care prima numărătoare nu l-a acoperit.

Pentru $130!$, calculul devine $26+5+1=32$. Termenul final apare pentru 125. Compararea celor două exemple te ajută să observi când trebuie să introduci o nouă putere în numărătoare.

Exemplul 4: un produs care începe de la 11

Câte zerouri terminale are produsul $11\cdot12\cdots30$? Îl poți scrie $30!/10!$, deoarece factorii de la 1 la 10 se simplifică exact.

Pentru factorii 5, scazi contribuțiile: $30!$ are 7, iar $10!$ are 2. Rămân 5 factori 5. Trebuie să controlezi și factorii 2, fiindcă produsul rămas nu mai este un factorial complet.

În $30!$, numărul factorilor 2 este $15+7+3+1=26$. În $10!$, este $5+2+1=8$. Diferența este 18. Ai deci 18 factori 2 și 5 factori 5; produsul cerut se termină în exact 5 zerouri.

Această verificare explică de ce scăderea numărului de zerouri nu este o regulă generală pentru orice împărțire. La factori, scăderile se fac separat. De exemplu, $100/4=25$: împărțirea la 4 consumă cei doi factori 2. Câtul nu are niciun zero terminal, deși 100 avea două, iar 4 nu avea niciunul.

Trei exerciții pentru verificare

1. Câte zerouri are $16\cdot625$? Ai patru factori 2 și patru factori 5, deci patru zerouri. Produsul este 10000.

2. Câte zerouri are $50!$? Sunt $10+2=12$. Multiplii lui 25 adaugă cei doi factori care ar lipsi dacă ai calcula numai 50 împărțit la 5.

3. Care este cel mai mic $n$ pentru care $n!$ are cel puțin șase zerouri? Răspunsul este 25: $24!$ are 4, iar $25!$ are 6. Numărătoarea nu scade când mărești $n$, deoarece adaugi factori. Observă că niciun factorial nu are exact cinci zerouri: trecerea de la 24 la 25 sare direct de la patru la șase.

De ce excludem produsul egal cu zero?

Dacă unul dintre factori este zero, întregul produs devine zero. Nu mai poți folosi aceeași descompunere într-un număr finit de factori primi: zero este divizibil cu orice putere pozitivă a lui zece. Întrebarea despre numărul exact de zerouri terminale cere atunci o convenție diferită și nu intră în metoda prezentată aici.

Nici zerourile pe care le adaugi la dreapta unei fracții zecimale nu sunt același lucru. Scrierile „doi virgulă cinci” și „doi virgulă cinci zero” reprezintă același număr. În acest articol numărăm zerourile de la sfârșitul scrierii obișnuite a unui întreg pozitiv, fără virgulă și fără zerouri suplimentare de formatare. Această precizare previne aplicarea formulei într-o situație pentru care nu a fost definită.

Ce verifici înainte să dai răspunsul?

Stabilește dacă ai un produs arbitrar, un factorial sau un raport. La produs numeri separat factorii 2 și 5. La factorial, justificarea de mai sus permite să numeri doar factorii 5. La raport, scazi exponenții fiecărui factor separat și verifici că lucrezi cu un număr întreg pozitiv.

Păstrează numărătoarea factorilor pe două rânduri, unul pentru doi și unul pentru cinci. Dacă vrei să discuți o eroare din acea numărătoare, poți căuta un profesor în anunțurile de matematică. Exemplele de aici sunt exerciții originale, nu afirmații despre subiectele care vor apărea la examen.