Compunerea funcțiilor la BAC: ordine și domeniu

În compunerea f∘g, aplici mai întâi funcția g, apoi funcția f: rezultatul este f(g(x)). Valoarea x trebuie să aparțină domeniului lui g, iar rezultatul g(x) trebuie să fie admis de f. Ordinea aplicării și domeniul sunt la fel de importante ca simplificarea formulei.

Lecția folosește exemple originale de compunere pentru pregătirea BAC. Când funcțiile sunt date prin formule, precizăm domeniile folosite și verificăm unde are sens expresia compusă. Nu presupunem că schimbarea ordinii produce aceeași funcție.

Cum citești simbolul compunerii?

Scrierea (f∘g)(x) se citește f aplicat lui g de x. Funcția din dreapta acționează prima. Poți reprezenta procesul prin schema x → g(x) → f(g(x)).

Dacă g(x)=2x+1 și f(x)=x², atunci f(g(x))=(2x+1)². În schimb, g(f(x))=2x²+1. Pentru x=1, prima expresie dă nouă și a doua dă trei, deci cele două compuneri nu sunt egale.

Parantezele păstrează întregul rezultat intermediar. Înlocuirea lui x din f cu 2x+1 înseamnă că ridici la pătrat toată expresia, nu numai termenul 2x. Dezvoltarea poate fi făcută ulterior, dacă ajută cerința.

Exemplu liniar în ambele ordine

Luăm f(x)=3x−2 și g(x)=x+4, ambele definite pe R. Pentru f∘g obținem 3(x+4)−2=3x+10. Pentru g∘f obținem (3x−2)+4=3x+2.

Ambele compuneri sunt definite pe toată axa, dar formulele diferă. Faptul că cele două funcții inițiale sunt liniare nu garantează comutativitatea compunerii. Ordinea trebuie calculată, nu ghicită după tipul funcțiilor.

Dacă cerința este (f∘g)(2), poți calcula direct g(2)=6, apoi f(6)=16. Formula compusă dă același rezultat: 3·2+10=16. Cele două drumuri oferă un control independent al înlocuirii.

Domeniul se stabilește în două etape

Pentru expresia f(g(x)), verifici mai întâi că x este admis de funcția interioară g. Apoi verifici că valoarea obținută aparține domeniului lui f. Ambele condiții trebuie satisfăcute simultan.

Etapă	Întrebare	Ce poate exclude valori
Aplicarea lui g	Există g(x)?	Radicali, numitori, domeniu declarat
Aplicarea lui f	Este g(x) în domeniul lui f?	Restricțiile funcției exterioare
Simplificare	Am păstrat condițiile inițiale?	Factori anulați sau formule extinse

În limbaj formal, pentru o compunere definită pe tot domeniul lui g, imaginea lui g trebuie să fie inclusă în domeniul lui f. În exercițiile cu formule, putem determina domeniul maxim pe care expresia compusă este admisă, restrângând corespunzător funcția interioară.

Radical și funcție liniară

Fie f(u)=√u, cu u≥0, și g(x)=x−2, cu x real. Expresia f(g(x)) este √(x−2). Domeniul său maxim este [2,+∞), deoarece rezultatul lui g trebuie să fie nenegativ.

În ordine inversă, g(f(x))=√x−2, cu domeniul [0,+∞). Funcția g acceptă orice număr real, deci nu adaugă restricții peste cele necesare radicalului inițial.

La x=1, compunerea g∘f există și are valoarea minus unu, în timp ce expresia f∘g nu este definită în numere reale. Diferența dintre compuneri poate apărea atât în formulă, cât și în domeniu.

Fracție și pătrat: o restricție care rămâne

Considerăm f(u)=1/u, definită pentru u nenul, și g(x)=x²−1, definită pe R. Expresia f(g(x)) este 1/(x²−1), iar domeniul exclude minus unu și unu.

În sens invers, g(f(x))=1/x²−1, iar domeniul exclude numai zero. Nu poți folosi domeniul unei compuneri pentru cealaltă. Prima interzice zerourile lui g, a doua interzice chiar intrarea zero în f.

Într-o rezolvare, scrie domeniul lângă formulă. Două expresii care par apropiate pot defini funcții diferite dacă intrările admise nu coincid. Acest lucru devine esențial când trebuie să verifici egalitatea unor funcții.

Radicalul și pătratul nu se anulează în orice ordine

Pentru f(u)=u² pe R și g(x)=√x pe [0,+∞), compunerea f∘g este x, dar numai pentru x≥0. Pătratul radicalului întoarce numărul inițial în domeniul în care radicalul exista.

Compunerea g∘f este √(x²)=|x|, definită pentru orice x real. Nu este funcția identitate pe toată axa: pentru x=−3, rezultatul este trei. Pe numere nenegative coincide cu x, dar pe numere negative produce opusul lui x.

Acest exemplu leagă compunerea de înțelegerea proprietăților operațiilor. Afirmația „radicalul și pătratul se anulează” trebuie însoțită de ordine și domeniu pentru a fi corectă.

Compunerea cu o funcție definită pe ramuri

Fie f(u)=u+1 pentru u<0 și f(u)=u² pentru u≥0. Considerăm g(x)=x−2. Pentru a alege ramura lui f(g(x)), comparăm x−2 cu zero, nu pe x cu zero.

Dacă x<2, avem f(g(x))=(x−2)+1=x−1. Dacă x≥2, avem f(g(x))=(x−2)². Punctul de separare s-a deplasat la doi deoarece argumentul funcției exterioare este g(x).

La x=2 folosim a doua ramură și obținem zero. La x=1 folosim prima ramură și obținem tot zero. Faptul că două intrări au aceeași valoare nu schimbă regula de selectare a ramurii.

Ecuație cu o compunere

Pentru f(x)=x² și g(x)=x−1, rezolvăm (f∘g)(x)=9. Formula este (x−1)²=9. Rezultă x−1=3 sau x−1=−3, deci x=4 sau x=−2.

Ambele funcții sunt definite pe R, deci nu avem restricții suplimentare. Verificarea se poate face în două etape: g(4)=3 și f(3)=9; g(−2)=−3 și f(−3)=9. Nu pierde ramura negativă la rezolvarea pătratului.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru f(x)=2x și g(x)=x+3, f∘g are formula 2x+6, iar g∘f are formula 2x+3. Ambele domenii sunt R, însă funcțiile nu sunt egale.
2. Pentru f(u)=√u și g(x)=4−x², domeniul expresiei f(g(x)) este [−2,2]. Rezultă din condiția 4−x²≥0, nu din cerința ca x însuși să fie pozitiv.
3. Pentru f(u)=1/(u−1) și g(x)=x+2, expresia compusă este 1/(x+1), cu x≠−1. Restricția se aplică rezultatului intermediar: x+2 nu trebuie să fie unu.
4. Pentru f(x)=x+1, compunerea f∘f are formula x+2. Simbolul nu reprezintă pătratul valorii f(x); înseamnă aplicarea succesivă a aceleiași funcții.

Întrebări frecvente

Compunerea este același lucru cu produsul funcțiilor?

Nu. Produsul înmulțește valorile f(x) și g(x), în timp ce compunerea introduce rezultatul unei funcții ca argument al celeilalte. Pentru f(x)=x+1, f∘f este x+2, iar produsul f·f este (x+1)².

Pot simplifica formula înainte să găsesc domeniul?

Poți face calcule auxiliare, dar domeniul trebuie justificat pornind de la aplicările inițiale. O simplificare nu extinde automat mulțimea intrărilor admise.

Cum verific pregătirea pentru BAC?

Calculează o valoare atât succesiv, cât și prin formula finală, apoi verifică domeniul. Alege exerciții din arhiva BAC; pentru feedback pe ordinea funcțiilor și ramuri, compară anunțuri de matematică.