Modulul unui număr: reguli și exerciții rezolvate

Modulul unui număr este distanța lui față de zero pe axa numerelor. Se notează |x| și este întotdeauna nenegativ: |−6| = 6, |6| = 6, iar |0| = 0. Barele verticale nu sunt paranteze pe care le elimini pur și simplu. Mai întâi afli semnul expresiei din interior, apoi aplici definiția.

În acest ghid găsești regulile, șase exerciții rezolvate și un test scurt. Exemplele pornesc de la calcule numerice și ajung la ecuații și inecuații. Poți lucra primele secțiuni chiar dacă încă nu ai învățat intervalele; partea despre inecuații este un pas suplimentar.

Ce trebuie să reții de la început?

• Dacă x ≥ 0, atunci |x| = x.

• Dacă x < 0, atunci |x| = −x.

• |a − b| este distanța dintre a și b.

• Pentru a > 0, ecuația |x| = a are două soluții: a și −a.

• Un rezultat negativ nu poate fi valoarea unui modul.

Semnul minus din formula −x nu spune că rezultatul este negativ. Dacă x = −6, atunci −x = −(−6) = 6. Acesta este punctul în care apar multe confuzii: formula depinde de semnul numărului introdus.

Cum îl interpretezi pe axa numerelor?

Marchează zero, apoi punctele −4 și 4. Ambele se află la patru unități de zero, chiar dacă sunt în direcții diferite. Modulul păstrează distanța și nu păstrează direcția. De aceea, două numere opuse au același modul.

Pentru distanța dintre −3 și 5 poți număra trei unități până la zero și încă cinci până la 5. Rezultatul este 8. Calculul corespunzător este |5 − (−3)| = |8| = 8. Dacă inversezi ordinea numerelor, obții |−3 − 5| = |−8| = 8, aceeași distanță.

Cum calculezi o expresie cu modul?

Respectă ordinea operațiilor în interiorul barelor. Pentru |2 − 3 · 4|, înmulțirea vine prima: 3 · 4 = 12. Expresia devine |2 − 12| = |−10| = 10. Nu transformi fiecare termen separat într-un număr pozitiv.

În general, |a + b| nu este egal cu |a| + |b|. Un contraexemplu suficient este a = 3 și b = −3: în stânga ai |0| = 0, în dreapta ai 3 + 3 = 6. Pentru produs, în schimb, regula |ab| = |a| · |b| este valabilă. Pentru cât, |a/b| = |a|/|b|, cu condiția b ≠ 0.

Cum rezolvi ecuațiile cu modul?

Pentru |x| = 7 cauți punctele aflate la distanța 7 de zero: x = 7 sau x = −7. Pentru |x| = 0 rămâne numai x = 0. Pentru |x| = −7 nu există soluții reale, fiindcă o distanță nu poate fi negativă.

Dacă în interior ai o expresie, aplici aceeași idee expresiei întregi. Ecuația |x − 3| = 5 înseamnă x − 3 = 5 sau x − 3 = −5. Rezultă x = 8 sau x = −2. Verificarea este imediată: |8 − 3| = 5 și |−2 − 3| = 5.

Aceste explicații pot fi reluate într-o ședință de pregătire pentru Evaluarea Națională, dacă problema este interpretarea axei, sau în pregătirea pentru BAC, când lucrezi expresii și inecuații mai ample.

Șase exerciții rezolvate pas cu pas

1. Calculează |−12| − |5 − 9|

Primul termen este 12. În al doilea modul calculezi 5 − 9 = −4, deci |5 − 9| = 4. Expresia întreagă este 12 − 4 = 8. Semnul minus dintre cele două module rămâne neschimbat.

2. Calculează |√5 − 3|

Compari √5 cu 3. Cum 5 < 9, ai √5 < √9 = 3. Expresia din interior este negativă, deci |√5 − 3| = −(√5 − 3) = 3 − √5. Nu ai nevoie de o aproximare zecimală pentru această comparație.

3. Află distanța dintre −7 și 2

Scrii |2 − (−7)| = |9| = 9. Pe axă, mergi șapte unități de la −7 la zero și două de la zero la 2. Cele două metode se confirmă reciproc. Dacă obții −9, ai calculat o diferență orientată, nu distanța cerută.

4. Rezolvă |2x + 1| = 9

Desparți în două cazuri: 2x + 1 = 9, de unde x = 4, sau 2x + 1 = −9, de unde x = −5. Mulțimea soluțiilor este {−5, 4}. Înlocuiește ambele valori în enunț înainte să închei rezolvarea.

5. Rezolvă |3x − 6| = 0

O expresie are modul zero numai dacă expresia este zero. Scrii 3x − 6 = 0 și obții x = 2. Nu apar două soluții diferite: plus zero și minus zero reprezintă același număr.

6. Rezolvă |x + 2| < 5

Expresia x + 2 trebuie să fie între −5 și 5: −5 < x + 2 < 5. Scazi 2 din toate cele trei părți și obții −7 < x < 3. Soluția este intervalul deschis (−7, 3). Capetele nu intră, fiindcă ar da modulul egal cu 5.

Ce se schimbă la inecuații?

Pentru a > 0, relația |x| < a descrie interiorul intervalului (−a, a), iar |x| > a descrie exteriorul: x < −a sau x > a. La ≤ și ≥ incluzi și capetele. Desenează punctele pe axă dacă încurci „și” cu „sau”.

Cazurile-limită trebuie tratate separat. |x| < 0 nu are soluții, |x| ≤ 0 are doar soluția zero, iar |x| > −2 este adevărată pentru orice număr real. Nu aplica automat o regulă scrisă pentru a pozitiv când a este negativ.

Testează-te înainte să citești răspunsurile

1. Calculează |−8| + |2 − 6|.

2. Rezolvă |x − 1| = 4.

3. Rezolvă |x| ≤ 3.

4. Este adevărat că |−2 + 5| = |−2| + |5|?

Răspunsuri: 1) 12; 2) x = −3 sau x = 5; 3) x aparține intervalului [−3, 3]; 4) nu, deoarece 3 ≠ 7. Dacă ai greșit ultimul exercițiu, revino la diferența dintre modulul unei sume și suma modulelor.

Întrebări frecvente

Modulul și opusul sunt același lucru?

Nu. Opusul lui 5 este −5, iar modulul lui 5 este 5. Pentru un număr negativ, modulul este egal cu opusul lui, dar această coincidență nu transformă cele două noțiuni în sinonime.

Poate o expresie care conține module să fie negativă?

Da. Fiecare modul este nenegativ, dar |2| − |7| = −5. Proprietatea privește valoarea fiecărui modul, nu orice calcul în care apare simbolul.

Cum îmi dau seama ce trebuie să repet?

Dacă greșești calculele numerice, repetă ordinea operațiilor. Dacă pierzi o soluție, exersează cele două cazuri ale ecuației. Dacă încurci intervalele, folosește axa. Poți căuta un profesor și să-i arăți exact exercițiul și pasul unde te-ai blocat.