Numere consecutive: sumă, condiții și exemple

Numerele întregi consecutive diferă între ele cu unu. Pentru a le afla din sumă, folosești numărul termenilor și simetria lor față de mijloc. La un număr impar de termeni, media este termenul central. La un număr par de termeni consecutivi, media se află la jumătatea distanței dintre cele două valori centrale.

De exemplu, cinci numere consecutive cu suma 85 sunt 15, 16, 17, 18 și 19. Media lor este 17, iar vecinii se așază simetric în jurul ei. Nu trebuie să încerci toate combinațiile de cinci numere.

Ce înseamnă „consecutive” în fiecare enunț?

Numerele 8, 9, 10 sunt întregi consecutive. Numerele 8, 10, 12 sunt numere pare consecutive, deoarece nu sari peste niciun număr par între ele. Diferența este doi, nu unu.

La fel, 9, 11, 13 sunt impare consecutive. Expresia „trei numere consecutive pare” se referă în mod obișnuit la trei membri succesivi ai șirului numerelor pare, nu la trei întregi succesivi care ar fi toți pari. Rescrie cerința clar înainte să calculezi.

Mai contează și domeniul. „Întregi” permite valori negative. „Naturale nenule” cere valori cel puțin egale cu unu. O soluție poate respecta suma și pasul, dar să încalce acest ultim detaliu.

Cum rezolvi cazul cu trei sau cinci termeni?

Pentru trei întregi consecutivi, notează termenul central cu $m$. Ceilalți sunt $m-1$ și $m+1$. La adunare, minus unu și plus unu se compensează, deci suma este $3m$.

Dacă suma este 102, termenul central este 34, iar numerele sunt 33, 34 și 35. Verificarea are două părți: suma este 102, iar fiecare diferență dintre vecini este unu.

Pentru cinci termeni, ai două perechi în jurul mijlocului. Numerele aflate la două unități de centru se compensează, la fel și cele aflate la o unitate. Suma este de cinci ori termenul central.

La suma 140, mijlocul este 28, iar numerele sunt 26, 27, 28, 29 și 30. Simetria explică metoda: nu este o regulă specială inventată pentru cinci numere. Același raționament funcționează pentru orice număr impar de termeni consecutivi.

Ce condiție trebuie să îndeplinească suma?

Pentru cinci întregi consecutivi, suma trebuie să se împartă exact la cinci. Dacă suma ar fi 142, media ar fi 28,4. Nu poate fi termenul central al unei liste de întregi consecutivi cu cinci membri.

Nu rotunji media la 28. Ai obține o listă cu suma 140, diferită de cea cerută. Rezultatul corect este că problema nu are soluție în întregi, cu acele date.

Divizibilitatea nu este singurul control dacă se cer numere naturale nenule. Pentru cinci termeni cu suma 5, mijlocul este 1, iar lista ar fi −1, 0, 1, 2, 3. Sunt întregi consecutivi, însă nu toți sunt naturali nenuli.

Cea mai mică sumă pentru cinci naturale nenule consecutive este $1+2+3+4+5=15$. Orice sumă mai mică este exclusă chiar înainte de împărțire. Un control de domeniu completează astfel controlul aritmetic.

Cum procedezi când numărul termenilor este par?

Patru întregi consecutivi cu primul termen $a$ sunt $a$, $a+1$, $a+2$ și $a+3$. Suma lor este $4a+6$. Dacă suma este 58, obții $4a=52$, deci primul termen este 13.

Lista este 13, 14, 15, 16. Media este 14,5, la mijloc între 14 și 15. O medie neîntreagă este perfect normală în acest caz. Nu o respingi folosind regula de la un număr impar de termeni.

Poți găsi lista și pornind de la medie: cele două valori centrale sunt 14 și 15, iar apoi adaugi câte un vecin în exterior. Dacă media ar fi 14, ai avea nevoie de valori centrale aflate la 13,5 și 14,5, care nu sunt întregi.

Pentru patru întregi consecutivi, suma lasă restul doi la împărțirea cu patru, deoarece $4a+6$ are același rest ca 6. De exemplu, 60 nu poate fi suma a patru întregi consecutivi, deși este divizibil cu patru.

Legătura dintre sumă, număr de valori și medie poate fi verificată cu formula mediei aritmetice. Diferența este că aici adaugi o condiție de structură: termenii trebuie să fie consecutivi.

Care este formula pentru orice număr de termeni?

Dacă primul termen este $a$ și ai $k$ termeni consecutivi, ultimul este $a+k-1$. Suma este:

$$S=\frac{k(2a+k-1)}{2}.$$

Din ea poți izola primul termen:

$$a=\frac{S}{k}-\frac{k-1}{2}.$$

Formula este utilă dacă ai, de exemplu, opt termeni. Pentru suma 116, media este 14,5, iar jumătate din distanța dintre primul și ultimul este 3,5. Primul termen este 11, ultimul 18.

Verificarea prin perechi dă patru sume egale cu 29, deci totalul este 116. Formula nu scutește verificarea condițiilor: primul termen trebuie să fie întreg și să aparțină domeniului cerut.

Ce se schimbă la numere pare sau impare consecutive?

Pentru trei numere pare consecutive cu suma 78, termenul central este 26. Vecinii sunt 24 și 28, deoarece pasul este doi. Lista 25, 26, 27 ar avea aceeași sumă, dar nu ar respecta cerința despre paritate.

Pentru cinci numere impare consecutive cu suma 75, mijlocul este 15. Numerele sunt 11, 13, 15, 17 și 19. Verifici atât suma, cât și faptul că termenul central are paritatea potrivită.

Dacă suma a trei numere pare consecutive ar fi 81, media ar fi 27, număr impar. Datele sunt incompatibile. Împărțirea exactă la trei nu ajunge: lista cerută are și restricția de paritate.

Pentru un pas general $d$, termenii sunt $a$, $a+d$ și așa mai departe. Formula sumei devine $S=k(2a+(k-1)d)/2$. La întregi consecutivi folosești pasul unu, iar la pare sau impare consecutive pasul doi.

Cum recunoști o listă greșită care are suma corectă?

Pentru trei numere consecutive cu suma 66, cineva propune 20, 22 și 24. Suma este corectă, dar diferențele sunt doi. Răspunsul ar fi potrivit pentru trei numere pare consecutive, nu pentru trei întregi consecutivi.

Alt răspuns, 21, 22 și 23, respectă ambele condiții. Aceasta este o situație în care verificarea unei singure informații din enunț lasă o eroare să treacă.

Scrie lângă răspuns două controale scurte: totalul și pasul. Adaugă apoi domeniul, dacă enunțul cere numere pozitive, naturale sau impare. Acest mod de lucru se leagă de verificarea rezolvării în pași, fără a relua inutil toată ecuația.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Șapte întregi consecutivi au suma 203. Mijlocul este 29, deci lista este 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.
2. Patru întregi consecutivi au suma 90. Media este 22,5, deci lista este 21, 22, 23, 24.
3. Trei impare consecutive au suma 39. Mijlocul este 13, iar lista este 11, 13, 15.
4. Pot exista cinci întregi consecutivi cu suma 81? Nu, deoarece media 16,2 nu poate fi termenul central întreg.
5. Trei întregi consecutivi au suma −12. Mijlocul este −4, iar numerele sunt −5, −4, −3.

Dacă rezolvi bine ecuația, dar alegi greșit pasul, păstrează câte un exemplu din fiecare familie. Le poți folosi când discuți obiectivele de lucru cu un profesor din anunțurile pentru meditații la matematică.

Întrebări frecvente

Pot exista două liste pentru aceeași sumă și același număr de termeni?

Nu, dacă pasul și domeniul sunt fixate. Formula determină un singur prim termen; acesta fie este admisibil, fie nu.

Trebuie să folosesc mereu o ecuație?

Nu. Pentru un număr impar de termeni, identificarea mijlocului este adesea mai rapidă. Ecuația explică aceeași structură.

Unde pot explora proprietățile sumelor consecutive?

NRICH propune investigarea numerelor vecine. Exemplele și condițiile de existență de aici sunt dezvoltate separat, cu verificarea sumei, pasului și domeniului.